Your browser version is outdated. We recommend that you update your browser to the latest version.

Η Ποίηση έγινε για να διορθώνει τα λάθη του Θεού· ή εάν όχι, τότε, για να δείχνει πόσο λανθασμένα εμείς συλλάβαμε την δωρεά του.

Οδυσσέας Ελύτης

 
Σκοπός της ζωής μας είναι η αγάπη, το πολύτιμο αυτό συναίσθημα που δίνει μεγαλύτερη αξία σε κάθε στιγμή, σε κάθε πράξη και σκέψη. Η αγάπη προς τους οικείους μας, η αφοσίωση στους ξεχωριστούς εκείνους ανθρώπους που η ύπαρξή τους πλουτίζει τη ζωή μας, μπορεί να μας προσφέρει όχι μόνο ισχυρότερη ευδαιμονία από κάθε υλικό απόκτημα, αλλά και μια βαθύτερη και ουσιαστικότερη θέαση της ίδιας της ζωής.
 
Ανδρέας Εμπειρίκος

Μαθηματικά Ε΄

2η Ενότητα

Περιεχόμενα:

Κεφ. 8 - Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

Κεφ. 9 - Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς

Κεφ. 10 - Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Κεφ. 11 - Κριτήρια διαιρετότητας

Κεφ. 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

Επαναληπτικό 2

Κεφάλαιο 9: Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς

Σύντομοι πολλαπλασιασμοί

Πολλαπλασιασμός με το 10, το 100, το 1.000 κτλ.

Όταν πολλαπλασιάζω έναν φυσικό αριθμό με το 10, το 100, το 1.000 κτλ., γράφω τον αριθμό και προσθέτω στο τέλος του τόσα μηδενικά όσα έχει το 10, το 100, το 1.000 αντίστοιχα:

π.χ.

34 x 10 = 340

9 x 100 = 900

16 x 1.000 = 16.000

Πολλαπλασιασμοί με ανάλυση των παραγόντων

π.χ.

12 x 45 =
= (10 + 2) x (40 + 5) =
= (10 x 40) + (10 x5 ) + (2 x 40) + (2 x 5) =
= 400 + 50 + 80 + 10=
= 540

 

 

 

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού:

Η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ισχύει και ως προς την αφαίρεση.

2 x ( 7 - 3) = (2 x 7) - (2 x 3) = 14 - 6 = 8

και
2 x (7 - 3) = 2 x 4 = 8

Θυμάμαι...

Κάθε φυσικός αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το 1 δίνει γινόμενο τον ίδιο αριθμό:
π.χ. 54 x1 = 54    25.845 x 1 = 25.845

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 0 θα δώσει γινόμενο 0:
π.χ. 32 x 0 =0    8.740.238 x 0 =0

Κεφάλαιο 10: Πολλαπλάσια και διαιρέτες

Διαιρέτες (Δ) ενός ακέραιου αριθμού λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 10,18 και 24 είναι αντίστοιχα:

Δ10 = 1,2,5,10.

Δ18 = 1,2,3,6,9,18.

Δ24 = 1,2,3,4,6,8,12,24.

Πολλαπλάσιο (Π) ενός ακέραιου αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο ακέραιο αριθμό (1,2,3,4,5...). Για παράδειγμα, τα πολλαπλάσια του 2 και του 3 είναι αντίστοιχα οι αριθμοί:

Π2 = 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24...

Π3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36...

Τα πολλαπλάσια κάθε φυσικού αριθμού είναι άπειρα.

Κοινά πολλαπλάσια (Κ.Π.) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών:

π.χ. ο αριθμός 4 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0,4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,... Ο αριθμός 6 έχει πολλαπλάσια τους αριθμούς 0, 6, 12, 1 8, 24, 30, 36,...

Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 4 και 6 είναι οι αριθμοί 0, 12, 24,...

Παράδειγμα

Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα 12 διαδοχικά πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3 και 6.

  • Παρατηρούμε ότι μερικά απ' τα πολλαπλάσια του 2, τα 6, 12, 18, 24 συμβαίνει να είναι πολλαπλάσια και των άλλων αριθμών 3 και 6. Αν ο πίνακας ήταν μεγαλύτερος, θα βρίσκαμε κι άλλα κοινά πολλαπλάσια.
  • Τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι άπειρα, αφού και τα πολλαπλάσιά τους είναι άπειρα.
  • Τα κοινά πολλαπλάσια δημιουργούνται με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του μικρότερου κοινού πολλαπλασίου. Π.χ. 6, 12, 18, 24...
    • Βήμα 1: Βρίσκω τα πολλαπλάσια των αριθμών.
    • Βήμα 2: Βρίσκω τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών.
    • Βήμα 3: Επιλέγω το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια (Ε.Κ.Π.).

Υπολογισμός του Ε.Κ.Π.

1ος τρόπος:

-         Π4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

-         Π6 = 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

-         Π8 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

-         Κ.Π. (4, 6, 8) = 0, 24, 48,... Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 24

2ος τρόπος:

Εξετάζουμε:

Αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς, των οποίων ζητάμε το Ε.Κ.Π. τους, είναι πολλαπλάσιο των υπολοίπων, δηλαδή αν διαιρείται ακριβώς με τους άλλους αριθμούς. Αν διαιρείται ακριβώς, τότε αυτός, ο μεγαλύτερος, είναι το Ε.Κ.Π. τους.

Παράδειγμα 1:

Ε.Κ.Π. (3,4,12) = 12, γιατί 12 : 3 = 4 και 12 :4 = 3.

Αν ο μεγαλύτερος αριθμός δε διαιρείται ακριβώς με τους άλλους, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους, τότε τον διπλασιάζουμε ή τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ., μέχρι να βρούμε έναν αριθμό, δηλαδή ένα πολλαπλάσιό του. που να διαιρείται ακριβώς με όλους τους άλλους δοσμένους αριθμούς. Αυτός ο αριθμός είναι το Ε.Κ.Π. τους.

Παράδειγμα 2:

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των αριθμών 12 και 15.

  • Διαλέγω τον μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς, που είναι το 15. Το 15 δεν είναι πολλαπλάσιο του 12 (δεν διαιρείται ακριβώς με το 12), οπότε το διπλασιάζουμε, τριπλασιάζουμε κ.ο.κ. μέχρι να βρούμε ένα πολλαπλάσιό του.
  • Έτσι λοιπόν, στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού εντοπίζω τα πολλαπλάσια του 15:
  • Παρατηρούμε ότι το μικρότερο πολλαπλάσιο του 15 που είναι ταυτόχρονα και πολλαπλάσιο του 12 είναι το 60.

  • Επομένως: Ε.Κ.Π. (12, 15) = 60

Παράδειγμα 3:

Ε.Κ.Π. (4, 6, 8) = 24.

Πώς το βρήκαμε:

  • Επειδή ο μεγαλύτερος αριθμός, ο 8, δε διαιρείται με το 4 και το 6 (δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιό τους), τον διπλασιάζουμε (2 •Ÿ 8= 16) και ελέγχουμε αν ο 16 διαιρείται με το 4 και το 6.
  • Επειδή ο 16 δε διαιρείται ακριβώς, τριπλασιάζουμε το 8 (3 •Ÿ 8 = 24) και ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα διαιρείται από τους 4 και 6.
  • Παρατηρούμε ότι ο 24 διαιρείται ακριβώς με το 4 και το 6 (24 : 4 = 6 και 24 : 6 = 4), γιατί είναι πολλαπλάσιό τους.
  • Άρα το 24 είναι το Ε.Κ.Π. του 4, 6 και 8.

Διαιρέτες - Μ.Κ.Δ.

Διαιρέτες (Δ) ενός φυσικού αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό:

π.χ. ο αριθμός 8 έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1, 2, 4, 8.

►       Κάθε φυσικός αριθμός έχει τουλάχιστον δύο διαιρέτες: τη μονάδα και τον εαυτό του.

►       Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι πάντα μικρότεροι ή ίσοι του αριθμού:  π.χ. οι διαιρέτες του 12 είναι οι 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Πείτε έναν αριθμό

Σκεφτείτε έναν αριθμό, χωρίς να μου τον πείτε. Πολλαπλασιάστε τον με το 3. Στο αποτέλεσμα προσθέστε 6. Πολλαπλασιάστε πάλι με 3. Προσθέστε όλα τα ψηφία του αποτελέσματος. (π.χ. αν είναι 72, προσθέστε το 7 και το 2). Σε περίπτωση που προκύψει διψήφιο αποτέλεσμα, ξαναπροσθέστε τα ψηφία αυτού του αποτελέσματος, ώστε να προκύψει μονοψήφιος. Αθροίστε στο αποτέλεσμα τον αριθμό του σπιτιού σας. Αθροίστε 5. Σας διαβεβαιώ ότι μόλις μου πείτε σε ποιον αριθμό έχετε καταλήξει θα είμαι σε θέση να γνωρίζω και να σας πω τον αριθμό του σπιτιού σας!

Κεφάλαιο 12: Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

Επαναληπτικό 2

Cookie Policy

This site uses cookies to store information on your computer.

Do you accept?